Ilmestynyt teoksessa: Kaisa Luoma, Erna Oesch & Risto Vilkko (eds.)
Filosofisia tutkielmia – Philosophical
Studies in honorem Leila Haaparanta, Acta Philosophica Tamperensia Vol. 4, Tampere University
Press, Tampere, 2004.
Mitä uutta
modernissa logiikassa?
Panu Raatikainen
Perinteisen aristoteelisen logiikan
valtakausi kesti parisen tuhatta vuotta. Niinpä vielä Kant julisti, että
aristoteelinen logiikka on lopullinen
ja täydellinen logiikka. Sittemmin
logiikka on kuitenkin kokenut melkoisen mullistuksen. Käsitykset siitä, mikä
tässä muutoksessa oli olennaista ja milloin se todella tapahtui, vaihtelevat.
Yleinen näkemys on, että nykyaikaisen
logiikan perinteisestä erottavia olennaisia piirteitä ovat kvanttoreiden
käyttöönotto sekä perinteisen luonnolliseen kieleen perustuneen lauseanalyysin
ja subjekti–predikaatti-analyysin korvaaminen matemaattisemmalla
argumentti–funktio-analyysilla (ks. esim.
Haaparanta 1998; vrt. Vilkko 2003). Niin
pitkälle kuin se menee, tämä pitää tietysti paikkansa. Kuitenkin minusta tuntuu,
että tämä kuvaus jättää jotain olennaista pois tai ainakin julkilausumattomaksi
ja piileväksi. Koetan seuraavassa lyhyesti esittää, mikä oman näkemykseni mukaan
tekee uudesta logiikasta radikaalisti erilaisen perinteiseen logiikkaan
verrattuna.
I
Tunnetusti Kant ajatteli, ettei geometrinen
eikä aritmeettinen päättely voi edetä
analyyttisesti tai loogisesti vaan edellyttää
puhtaan intuition konstruktioita, siis synteettistä päättelyä. Michael Friedman
(1985) on (osin Hintikan ajatuksia kehitellen) korostanut, että tämä on
olennaisesti seurausta siitä, että
Kant otti
annettuna perinteisen aristoteelisen logiikan. Erityisesti, Kantin tuntema logiikka ei mitenkään
pystynyt tavoittamaan tai esittämään äärettömyyttä. Sen välineistö ei voi
pakottaa predikaatin ekstensiota äärettömäksi. Äärettömyys oli sen puitteissa
esitettävä intuitiivisesti. Tämä logiikka on siten auttamattoman riittämätön
toimimaan matemaattisen päättelyn teoriana — siksi Kantin oletus,
että tarvitaan synteettistä intuitiota. Taustalla oletetun logiikan
ominaisuuksilla on näin pitkälle meneviä filosofisia seurauksia.
Nykyaikaisessa logiikassa predikaatin
ekstension pakottaminen äärettömäksi käy sen sijaan helposti. Se edellyttää
välttämättä ainakin yhtä kaksipaikkaista predikaattia ja useampia sisäkkäisiä,
toisistaan riippuvia kvanttoreita. Perinteinen aristoteelinen logiikka toisaalta
rajoittui yksipaikkaisiin eli monadisiin predikaatteihin ja salli lauseen alussa
vain yhden kvanttorin. Siksi se ei voi esittää äärettömyyttä. Tässä näen yhden
tärkeän eron vanhan ja uuden logiikan välillä.
II
Keskeinen logiikan ominaisuus on sen
ratkeavuus tai ratkeamattomuus.1 Logiikka on ratkeava, jos on olemassa yleinen menetelmä,
jolla pystytään täysin mekaanisesti, askel askeleelta sääntöjä seuraten
ratkaisemaan äärellisessä ajassa mistä tahansa logiikan lauseesta, onko se
loogisesti tosi (pätevä) vai ei. Muussa tapauksessa logiikka on ratkeamaton.
Hilbert esitti aikanaan, että ”ratkaisuongelma” (Entscheidungsproblem) on matemaattisen logiikan pääongelma (Hilbert
& Ackermann 1928). Hilbert oletti, että uusi logiikka on kokonaisuudessaan
ratkeava. Tämän osoittaminen muodostikin keskeisen osan Hilbertin ohjelmaa,
jonka piirissä monet tuon ajan parhaista loogikoista työskentelivät.
Toisaalta onnistuttiin rajoittumalla
tiettyihin kvanttorirakenteen mukaan erityisiin lauseluokkiin osoittamaan, että
kyseinen lauseluokka on ratkeava; tämä onnistui yhä monimutkaisemmille
lauseluokille (ks. alla). Toisaalta logiikan yleinen ratkaisuongelma
onnistuttiin palauttamaan tiettyihin kvanttorirakenteeltaan rajoitettuihin
lausejoukkoihin (palautusluokkiin). Koko logiikan ratkeavuuden osoittaminen
näytti näin olevan lähellä — lopulta kyse oli vain yhden kvanttorin erosta.
Vuonna 1936 Church ja Turing kuitenkin osoittivat, että tämä kuilu on
ylittämätön: yleinen ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikka on ratkeamaton
(Church 1936a, b; Turing
1936).
III
On mielenkiintoista katsoa hieman tarkemmin,
missä ratkeavuuden ja ratkeamattomuuden raja tarkemmin ottaen kulkee, ja mihin se perustuu. Ensiksikin, kaikki seuraavat (ensimmäisen kertaluvun
kielen ilman funktiosymboleja) lauseiden luokat ovat
ratkeavia:
— lauseet, jotka sisältävät vain monadisia
(yksipaikkaisia) predikaatteja (Löwenheim 1915);
— puhtaasti universaaliset lauseet
(Bernays
& Schönfinkel 1928);
— puhtaasti eksistentiaaliset lauseet
(Bernays & Schönfinkel 1928).
Edelleen, ensimmäisen kertaluvun logiikassa
(ilman identiteettiä2) lauseluokat, joiden lauseiden kvanttorietuliite (prefiksi) on seuraavaa muotoa, ovat
ratkeavia (toteutuvuuden suhteen):3
... (Bernays &
Schönfinkel 1928);
...... (Gödel 1932).
Kaikista edellä mainittuihin lauseluokkiin
kuuluvista lauseista voidaan siis mekaanisesti ratkaista, ovatko ne
toteutuvia vai ei. Sen sijaan lauseiden,
jotka ovat seuraavia
kvanttorimuotoja, luokat ovat jo ratkeamattomia:
(Suranyi 1950);
(Kahr, Moore &
Wang 1962).
Itse asiassa viimeksi mainittujen
lauseluokkien ratkeamattomuus pätee, vaikka sallittaisiin lauseiden
sisältävän, yksipaikkaisten predikaattien ohella, vain yhden kaksipaikkaisen
predikaatin (relaation).4 Molemmat
viimeksi mainitut, ratkeamattomat lauseluokat ovat myös nk.
palautusluokkia; koko yleisen predikaattilogiikan ratkaisuongelma voidaan
palauttaa niihin.5 Ne siis tietyssä mielessä jo sisältävät koko yleisen
predikaattilogiikan voiman. Askel ratkeavista lauseluokista niihin, mikä
vaatii vain yhden kvanttorin lisää,
merkitsee siis hyvin
radikaalia siirtymää.
Ratkeamattomuuden yhteys kykyyn ilmaista
äärettömyyttä on tässä läheinen: kaikkien em. ratkeavien lauseluokkien
ratkeavuus perustuu niiden nk. äärellinen
malli -ominaisuuteen
(joskus
myös sanotaan, että ne ovat ”äärellisesti
kontrolloitavissa”); ts. luokan kaikille lauseille pätee seuraava ehto: jos
lause on toteutuva, sillä on äärellinen malli. Jos siis lause ei ole loogisesti
pätevä, sille voidaan aina mekaanisesti löytää äärellinen vastaesimerkki
(tämähän ei päde yleisesti). Lauseluokat ovat ratkeavia, koska tämänmuotoiset
lauseet eivät pysty takaamaan mallin äärettömyyttä.6 Ratkeamattomat luokat
toisaalta sisältävät ”äärettömyysaksioomia” eli lauseita, joilla on vain
äärettömiä malleja.
Perinteinen aristoteelinen logiikka sisältyy
kokonaisuudessaan monadiseen predikaattilogiikkaan. Se on siis
ratkeava. Nykyaikainen logiikka on sen sijaan ratkeamaton — ja kuten edellä on
nähty, jo sen varsin yksinkertaiset osat ovat. Tässä näen toisen olemuksellisen eron
vanhan ja uuden logiikan välillä.
Voidaan ehkä ajatella, että ratkeamattomuus
on nykylogiikan heikkous tai puute. Itse asiassa se on kuitenkin logiikan
riittävyyden välttämätön ehto: mikäli logiikka on ratkeava, se ei kykene
esittämään edes alkeisaritmetiikassa esiintyviä päätelmiä. On siis varmasti parempi vain
elää logiikan ratkeamattomuuden kanssa.
IV
Äärettömän käsitteeseen epäilyksellä
suhtautuva — ja heitä on — voi
tietysti ajatella, että koko äärettömän
mallin käsite on tarpeeton. Mitäpä jos vain unohdamme äärettömät mallit ja
rajoitumme tarkastelemaan pelkästään äärellisiä malleja? Lauseen looginen totuus
tai pätevyys voitaisiin tällöin tietysti
määritellä lauseen totuutena kaikissa
äärellisissä malleissa. Saataisiinko näin hallittavampi logiikka? Ei
—
päinvastoin!
Trakhtenbrotin lause (Trakhtenbrot 1950)
sanoo, että näin määriteltyä äärellisesti pätevien lauseiden joukkoa ei voida
aksiomatisoida — toisin sanoen lopputuloksena saatu logiikka on olennaisesti
epätäydellinen; lisäksi sekin on ratkeamaton. Rajoittuminen äärellisiin malleihin johtaa
siis vain hallitsemattomampaan tilanteeseen. Nykyisen vakiologiikkamme
riittävyys, tai täydellisyys, perustuu siis oleellisesti valintaan kohdella
äärellisiä ja äärettömiä malleja tasa-arvoisina. Pidän täydellisyyttä
tyydyttävän logiikan keskeisenä vaatimuksena.
V
Jotta logiikka pystyisi
sisällyttämään itseensä matematiikassa käytetyt päättelyt, sen kielen on kyettävä
esittämään äärettömyyden käsite. Tämä
puolestaan edellyttää vähintään yhtä kaksipaikkaista relaatiota ja useampia
sisäkkäisiä, toisistaan riippuvia kvanttoreita. Samat ehdot on
täytettävä myös lauseluokan, jotta se olisi ratkeamaton (siihen tarvitaan
vähintään kolme sisäkkäistä kvanttoria ja ainakin yksi kaksipaikkainen
predikaatti).
Vasta nämä piirteet yhdessä antavat
nykyaikaiselle logiikalle sen perinteistä logiikkaa olennaisesti suuremman
voiman; kvanttorit ja funktio–argumentti-analyysi
sinänsä, tai usempipaikkaiset predikaatit tai relaatiot sinänsä, eivät erikseen
sitä tee. Kunnia kaikkien tarvittavien
ainesten yhdistämisestä kuulunee Fregelle: siksi
ajattelen itse hieman epätrendikkäästi, että
moderni logiikka todellakin syntyi vasta 1879.
Viitteet
1. Tärkeä logiikan ominaisuus on tietysti
myös täydellisyys. Sekä perinteiselle että nykyaikaiselle (ensimmäisen
kertaluvun) logiikalle on kuitenkin mahdollista esittää täydellinen
päättelysääntöjärjestelmä, joten tässä ei ole mitään olennaista eroa
näiden kahden välillä.
2. Identiteetin kanssa jo luokka
on ratkeamaton (Goldfarb 1984).
3. Merkintä ... (tai ...) tarkoittaa, että
mielivaltaisen pitkä äärellinen jono samaa kvanttoria on sallittu.
4. luokka ... on ratkeamaton, vaikka lauseet eivät sisältäisi yhden
kaksipaikkaisen predikaatin lisäksi mitään muita (edes yksipaikkaisia)
predikaatteja.
5. Lauseluokka P on
palautusluokka, jos mielivaltaiselle annetulle predikaattilogiikan lauseelle voidaan mekaanisesti
löytää luokkaan P kuuluva lause siten, että on loogisesti pätevä
jos ja vain jos on loogisesti pätevä.
6.
Lauseluokka on ratkeava, jos sillä on
äärellinen malli -ominaisuus (ts. se on
äärellisesti kontrolloitavissa), mutta seuraussuhde ei välttämättä päde
vastakkaiseen suuntaan. Luonnollisten kvanttorietuliitteen avulla luokiteltujen
lauseluokkien joukossa kuitenkin tosia asiassa käy niin, että jokaisella
ratkeavalla lauseluokalla on äärellinen
malli -ominaisuus.
Lähteet
Bernays, P. & M.
Schönfinkel [1928] ”Zum
Entscheidungsproblem der mathematischen Logik”, Mathematische Annalen 99, 401–419.
Church, A.
[1936a] “An unsolvable problem of elementary
number theory”, American Journal of Mathematics 58, 345–363.
Church,
A. [1936b] “A note on the Entscheidungsproblem’. Journal of Symbolic Logic, 1, 40–41.
Friedman,
M. [1985] “Kant’s theory of geometry”, Philosophical Review 94, 455–506.
Goldfarb,
W. [1984] “The unsolvability of
the Gödel class with identity”, Journal
of Symbolic Logic 49,
1237–1252.
Gödel, K. [1932] “Ein spezialfall des Entscheidungsproblems der
theoretischen Logik”, Ergebnisse eines
Mathematischen Kolloquiums, vol. 2,
27–28.
Haaparanta,
L. [1998] ”Moderni
logiikka”,
teoksessa P. Korkman & M.
Yrjönsuuri
(toim.) Filosofian historian
kehityslinjoja, Helsinki: Gaudeamus,
383–399.
Hilbert, D. & W.
Ackermann [1928] Grundzüge der theoretischen Logik,
Berlin:
Springer.
Kahr, A., E. Moore & H.
Wang [1962] “Entscheidungsproblem reduced to class”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the
U.S.A. 48, 364–377.
Löwenheim,
L. [1915] “Über Möglichkeiten
Relativkalkül”, Mathematische
Annalen 76, 447–470.
Suranyi,
J. [1950] “Contributions to the
reduction theory of decision problem, second paper”, Acta Mathematica Academiae Scientarium
Hungaricae, vol. 1, 261–270.
Trakhtenbrot, B.
A. [1950] “Nevozmoznost’algorifma
dla prblemy razresimosti na konecnyh klassah” (‘Impossibility of an Algorithm
for the Decision Problem in Finite Classes’), Doklady Akademii Nauk SSSR 70,
569–572.
Turing,
A.M. [1936] “On computable numbers,
with an application to the Entscheidungsproblem”, Proceedings of the London Mathematical
Society, series 2, 42 (1936-37),
230–265.
Vilkko, R.
[2003] ”Immanuel Kant — logiikan kehityksen
tärkeä taustavaikuttaja”, Ajatus 60,
121–136.
*
No comments:
Post a Comment